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2013年05月14日

たまには、真面目な受験数学の話を(対数)

自分も参考書を書く立場として、市販の参考書で気になっていることを書いときます。


いろいろありますが、今日は真数条件について書きたいと思う。これは、高校生の頃から思っていたことです。


(底はすべて2とします。
また、^は累乗をを表します。例えば、2^10は2の10乗という意味です)


【その1】
置き換えのときは真数条件の確認は不要!!

(よくある市販の参考書から)

(問) 方程式 (logx)^2-4logx+3=0を解け。
(解答)
t=logxとおくと、
    t^2-4t+3=0
   (t-1)(t-3)=0
   ∴ t=1,3
t=1のとき、x=2で、これは真数条件を満たす
t=3のとき、x=8で、これは真数条件を満たす

よって、
   x=2,8

(志田の見解)
えーとですねぇ。t=logxとおくってことは、x=2^tですから、すべての実数tに対して、x>0は保証されています。だから、真数条件は成り立つに決まっています。だから、赤字は不要。


【その2】
対数方程式で、真数条件を解くのはナンセンス!


(よくある市販の参考書から)

(問) 方程式 log(x-1)=log(8-2x) を解け。

(解答)
真数条件より、
   x-1>0、8-2x>0
よって、
   1<x<4 …①

このとき、与えられた方程式は
   x-1=8-2x
   ∴ x=3

これは①を満たす。
よって、

   x=3



(志田の見解) 
真数条件は解く必要はありません!例えば、
   log(x^5+x+1)=log(x^5ーx+3)
なら真数条件は
   x^5+x+1>0、x^5ーx+3>0
でしょ。これを解けるなら解いてください(笑)。
ちなみに、真数を比べれば、5乗の項が消え、答えはx=1とすぐわかるのに、真数条件なんか解いてたら時間の無駄でしかありません。

志田はこう解きます。

(志田の解答)


(問) 方程式 log(x-1)=log(8-2x) を解け。

(解答)
真数条件より、
   x-1>0、8-2x>0  …☆←この式は解かずにこのままにしておく

このとき、与えられた方程式は
   x-1=8-2x
   ∴ x=3

これは☆を満たす。
よって、

   x=3


上も同じように真数条件は解かずに解がx=1とでてから、5次不等式に代入して成立することをチェックすれば、解く必要はないのです。
なお、参考書批判でなく、問題提起ですので(笑)。ご意見いただけると嬉しいです。

また、気が向いたら書きます。結構、長くなるし、神経使うから最後かもしれませんが(笑)。



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この記事へのコメント
こんばんは(^-^)/
学校では全て書いた方がいいと教わったのでとても意外だし、記述で問題が出された時も時間が省けるんじゃないかなと思いました。
次問題解く時に試してみたいと思います。
Posted by 8096 at 2013年05月15日 20:58
数学の解答解説もこのように人間味があると伝わるものがあります。あまりに親切なのも、問題があるかも知れませんが、既存のものには、ほとんどないので、センター本は丁度よい塩梅だなと思いながら使っていて思います。
Posted by 3110 at 2013年05月17日 09:57
数学の解答解説もこのように人間味があると伝わるものがあります。あまりに親切なのも、問題があるかも知れませんが、既存のものには、ほとんどないので、センター本は丁度よい塩梅だなと思いながら使っていて思います。
Posted by 時計コピー at 2013年07月10日 18:32