この前書いたら、いろいろご意見をいただいて面白かったので、調子に乗ってもう一回。
サッカーの練習でよくミニゲームとかやります。
例えば、６人を３，３に分けるとき、「グーとパー」で分けることにします。
※「グーとパー｣とは、６人がグーとパーのどちらかを出し、グーが３人、パーが３人のとき組み分け成立というルールです。
これって、なかなか組み分けできないことってありません？
２人４人になったり、１人５人になったり…
うちの練習でも「グーとパー」と永遠とくりかえしています。
ちなみに確率は
６Ｃ３／（２の６乗）＝５／１６
です（ｎＣｒはｎ人からｒ人選ぶ組合せの数(コンビネーション））。
この確率を上げる方法があります。
それは、誰でもいいので一人抜けることです。
そして、５人をグー２人，パー３またはパー３人、グー２人に分け、抜けた人は２人の方に入れば３，３に組み分けできますよね。
この確率は
（５Ｃ２＋５Ｃ３）／（２の５乗）＝５／８
だから、先ほどの２倍です。
面白いでしょ。
だから、僕は組み分けに参加せず、「少ないほうに入るんで分けといて」と言って、お茶飲んで、「俺、どっちに入ればよい？」とやってます。
少ない練習時間を有効に使う合理的判断力だと思いませんか？
オーナーへメッセージ
プロフィール
志田 晶
「志田 晶の著書｣
センター試験Ⅰ・Ａの点数が面白いほど取れる本 （第１０刷にて改訂）
センター試験Ⅱ・Ｂの点数が面白いほど取れる本 （第７刷にて改訂）
新出題傾向版センター試験Ⅰ・Ａの点数が面白いほど取れる本（第５刷にて改訂）
新出題傾向版センター試験ⅡＢの点数が面白いほど取れる本（第５刷にて改訂）
パワーアップ版センター試験数学Ⅰ・Ａの点数が面白いほど取れる本 （第６刷にて改訂）
パワーアップ版センター試験数学Ⅱ・Ｂの点数が面白いほど取れる本 （第５刷にて改訂）
志田晶のベクトルが面白いほどわかる本 （第６刷にて改訂）
決定版センター試験数学Ⅰ・Ａの点数が面白いほど取れる本 （第７刷）
決定版センター試験数学Ⅱ・Ｂの点数が面白いほど取れる本 （第７刷）
数学の裏ワザの使い方が面白いほどわかる本 （第４刷発売中）
決定版 志田晶のベクトルが面白いほどわかる本 （第８刷発売中）
志田晶の行列・一次変換・いろいろな曲線が面白いほどわかる本 （第８刷発売中）
数学Ⅰ・A 一問一答（第３刷発売中）
数学Ⅱ・B 一問一答（第４刷発売中）
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2013年06月18日
2013年05月14日
たまには、真面目な受験数学の話を（対数）
自分も参考書を書く立場として、市販の参考書で気になっていることを書いときます。
いろいろありますが、今日は真数条件について書きたいと思う。これは、高校生の頃から思っていたことです。
（底はすべて２とします。
また、＾は累乗をを表します。例えば、２＾１０は２の１０乗という意味です）
【その１】
置き換えのときは真数条件の確認は不要！！
(よくある市販の参考書から）
（問） 方程式 （ｌｏｇｘ）＾２－４ｌｏｇｘ＋３＝０を解け。
（解答）
ｔ＝ｌｏｇｘとおくと、
ｔ＾２－４ｔ＋３＝０
（ｔ－１）（ｔ－３）＝０
∴ ｔ＝１，３
ｔ＝１のとき、ｘ＝２で、これは真数条件を満たす
ｔ＝３のとき、ｘ＝８で、これは真数条件を満たす
よって、
ｘ＝２，８
（志田の見解）
えーとですねぇ。ｔ＝ｌｏｇｘとおくってことは、ｘ＝２＾ｔですから、すべての実数ｔに対して、ｘ＞０は保証されています。だから、真数条件は成り立つに決まっています。だから、赤字は不要。
【その２】
対数方程式で、真数条件を解くのはナンセンス！
（よくある市販の参考書から）
（問） 方程式 ｌｏｇ（ｘ－１）＝ｌｏｇ（８－２ｘ） を解け。
（解答）
真数条件より、
ｘ－１＞０、８－２ｘ＞０
よって、
１＜ｘ＜４ …①
このとき、与えられた方程式は
ｘ－１＝８－２ｘ
∴ ｘ＝３
これは①を満たす。
よって、
ｘ＝３
（志田の見解）
真数条件は解く必要はありません！例えば、
ｌｏｇ（ｘ＾５＋ｘ＋１）＝ｌｏｇ（ｘ＾５ーｘ＋３）
なら真数条件は
ｘ＾５＋ｘ＋１＞０、ｘ＾５ーｘ＋３＞０
でしょ。これを解けるなら解いてください（笑）。
ちなみに、真数を比べれば、５乗の項が消え、答えはｘ＝１とすぐわかるのに、真数条件なんか解いてたら時間の無駄でしかありません。
志田はこう解きます。
（志田の解答）
（問） 方程式 ｌｏｇ（ｘ－１）＝ｌｏｇ（８－２ｘ） を解け。
（解答）
真数条件より、
ｘ－１＞０、８－２ｘ＞０ …☆←この式は解かずにこのままにしておく
このとき、与えられた方程式は
ｘ－１＝８－２ｘ
∴ ｘ＝３
これは☆を満たす。
よって、
ｘ＝３
上も同じように真数条件は解かずに解がｘ＝１とでてから、５次不等式に代入して成立することをチェックすれば、解く必要はないのです。
なお、参考書批判でなく、問題提起ですので（笑）。ご意見いただけると嬉しいです。
また、気が向いたら書きます。結構、長くなるし、神経使うから最後かもしれませんが（笑）。
いろいろありますが、今日は真数条件について書きたいと思う。これは、高校生の頃から思っていたことです。
（底はすべて２とします。
また、＾は累乗をを表します。例えば、２＾１０は２の１０乗という意味です）
【その１】
置き換えのときは真数条件の確認は不要！！
(よくある市販の参考書から）
（問） 方程式 （ｌｏｇｘ）＾２－４ｌｏｇｘ＋３＝０を解け。
（解答）
ｔ＝ｌｏｇｘとおくと、
ｔ＾２－４ｔ＋３＝０
（ｔ－１）（ｔ－３）＝０
∴ ｔ＝１，３
ｔ＝１のとき、ｘ＝２で、これは真数条件を満たす
ｔ＝３のとき、ｘ＝８で、これは真数条件を満たす
よって、
ｘ＝２，８
（志田の見解）
えーとですねぇ。ｔ＝ｌｏｇｘとおくってことは、ｘ＝２＾ｔですから、すべての実数ｔに対して、ｘ＞０は保証されています。だから、真数条件は成り立つに決まっています。だから、赤字は不要。
【その２】
対数方程式で、真数条件を解くのはナンセンス！
（よくある市販の参考書から）
（問） 方程式 ｌｏｇ（ｘ－１）＝ｌｏｇ（８－２ｘ） を解け。
（解答）
真数条件より、
ｘ－１＞０、８－２ｘ＞０
よって、
１＜ｘ＜４ …①
このとき、与えられた方程式は
ｘ－１＝８－２ｘ
∴ ｘ＝３
これは①を満たす。
よって、
ｘ＝３
（志田の見解）
真数条件は解く必要はありません！例えば、
ｌｏｇ（ｘ＾５＋ｘ＋１）＝ｌｏｇ（ｘ＾５ーｘ＋３）
なら真数条件は
ｘ＾５＋ｘ＋１＞０、ｘ＾５ーｘ＋３＞０
でしょ。これを解けるなら解いてください（笑）。
ちなみに、真数を比べれば、５乗の項が消え、答えはｘ＝１とすぐわかるのに、真数条件なんか解いてたら時間の無駄でしかありません。
志田はこう解きます。
（志田の解答）
（問） 方程式 ｌｏｇ（ｘ－１）＝ｌｏｇ（８－２ｘ） を解け。
（解答）
真数条件より、
ｘ－１＞０、８－２ｘ＞０ …☆←この式は解かずにこのままにしておく
このとき、与えられた方程式は
ｘ－１＝８－２ｘ
∴ ｘ＝３
これは☆を満たす。
よって、
ｘ＝３
上も同じように真数条件は解かずに解がｘ＝１とでてから、５次不等式に代入して成立することをチェックすれば、解く必要はないのです。
なお、参考書批判でなく、問題提起ですので（笑）。ご意見いただけると嬉しいです。
また、気が向いたら書きます。結構、長くなるし、神経使うから最後かもしれませんが（笑）。
2013年05月03日
今日の中日新聞
今日の中日新聞にチャンピオンズリーグの記事が載ってました。
１１人の力を戦術と組織力で掛け算にしたドイツ勢と、圧倒的な個人の力があっても足し算だったスペイン勢との差がでたと言えそうだ。
（５月３日の中日新聞より）
まぁ、サッカー好きとしては記事の内容にもコメントしたいところだけど（笑）。
でも、これって、
掛け算の方が足し算の方よりも大きいとか思ってません？？？
そんなことないですよ。
１＋４＝５
１×４＝４
ほうら、足し算のほうが大きいじゃないですか（笑）。
一般化します。
ｘ＞０、ｙ＞０とする（力なので０以下は考えないのは自然と思われる）。
①０＜ｘ≦１のとき、
ｘ＋ｙ－ｘｙ
＝（１－ｘ）ｙ＋ｘ＞０
より、ｘ＋ｙ＞ｘｙ
（和のほうが積より大きい）
②ｘ＞１のとき、
ｘｙ－（ｘ＋ｙ）
＝（ｘ－１）ｙ－ｘ
＝（ｘ－１）｛ｙ－ｘ／（ｘ－１）｝
より、
ｙ＞x/ （x-1）のとき（双曲線の上側）のみ、ｘｙ＞ｘ＋ｙ（積のほうが和より大きい）。
つまり、正の数では、和と積のどっちが大きいかなんて断定できないわけです。
恐らく、この記事を書いた人はは２以上の数しか考えてないのでしょう。
（命題）
ｘ≧２、ｙ≧２ならばｘｙ≧ｘ＋ｙ
（教科書レベル）
（証明）
ｘｙ－（ｘ＋ｙ）
＝（ｘ－１）（ｙ－１）－１≧０
仕事に戻ります。
１１人の力を戦術と組織力で掛け算にしたドイツ勢と、圧倒的な個人の力があっても足し算だったスペイン勢との差がでたと言えそうだ。
（５月３日の中日新聞より）
まぁ、サッカー好きとしては記事の内容にもコメントしたいところだけど（笑）。
でも、これって、
掛け算の方が足し算の方よりも大きいとか思ってません？？？
そんなことないですよ。
１＋４＝５
１×４＝４
ほうら、足し算のほうが大きいじゃないですか（笑）。
一般化します。
ｘ＞０、ｙ＞０とする（力なので０以下は考えないのは自然と思われる）。
①０＜ｘ≦１のとき、
ｘ＋ｙ－ｘｙ
＝（１－ｘ）ｙ＋ｘ＞０
より、ｘ＋ｙ＞ｘｙ
（和のほうが積より大きい）
②ｘ＞１のとき、
ｘｙ－（ｘ＋ｙ）
＝（ｘ－１）ｙ－ｘ
＝（ｘ－１）｛ｙ－ｘ／（ｘ－１）｝
より、
ｙ＞x/ （x-1）のとき（双曲線の上側）のみ、ｘｙ＞ｘ＋ｙ（積のほうが和より大きい）。
つまり、正の数では、和と積のどっちが大きいかなんて断定できないわけです。
恐らく、この記事を書いた人はは２以上の数しか考えてないのでしょう。
（命題）
ｘ≧２、ｙ≧２ならばｘｙ≧ｘ＋ｙ
（教科書レベル）
（証明）
ｘｙ－（ｘ＋ｙ）
＝（ｘ－１）（ｙ－１）－１≧０
仕事に戻ります。
2013年04月29日
努力は必ず報われる
インターネットにこんな記事が載っていました。
「努力は必ず報われる？」
・そうとも限らない：54.6％
・報われる：45.5％
（Amebaブログネタ・クチコミつながり調べ、回答者数：2321人、2013年4月26日時点）
僕個人としては、きれいごとは嫌いなので、
努力することは報われるための必要条件（十分性はない）
だと思っています（あくまでも私見ですよ）。
つまり、報われている人は必ず努力をしているが、努力をしたからといって必ずしも報われるとは限らないという意味です。
だからと言って努力をすることがムダと言っているわけではありません。
必要条件とはそもそも消去法の考え（対偶をとるとわかる）なので、僕の主張は
報われている人は必ず努力をしている
⇔努力しない人が報われることは絶対にない！！
と言うことを意味します。
つまり、努力しなければ、はなから負け確定（だから努力せざるをえない！）ということなんですよ。
こう書くと少しだけ説得力がでてきませんか（笑）。
さて、仕事に戻ります。
「努力は必ず報われる？」
・そうとも限らない：54.6％
・報われる：45.5％
（Amebaブログネタ・クチコミつながり調べ、回答者数：2321人、2013年4月26日時点）
僕個人としては、きれいごとは嫌いなので、
努力することは報われるための必要条件（十分性はない）
だと思っています（あくまでも私見ですよ）。
つまり、報われている人は必ず努力をしているが、努力をしたからといって必ずしも報われるとは限らないという意味です。
だからと言って努力をすることがムダと言っているわけではありません。
必要条件とはそもそも消去法の考え（対偶をとるとわかる）なので、僕の主張は
報われている人は必ず努力をしている
⇔努力しない人が報われることは絶対にない！！
と言うことを意味します。
つまり、努力しなければ、はなから負け確定（だから努力せざるをえない！）ということなんですよ。
こう書くと少しだけ説得力がでてきませんか（笑）。
さて、仕事に戻ります。