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2013年06月18日

たまには真面目な数学を

この前書いたら、いろいろご意見をいただいて面白かったので、調子に乗ってもう一回。

サッカーの練習でよくミニゲームとかやります。


例えば、6人を3,3に分けるとき、「グーとパー」で分けることにします。


※「グーとパー」とは、6人がグーとパーのどちらかを出し、グーが3人、パーが3人のとき組み分け成立というルールです。


これって、なかなか組み分けできないことってありません?

2人4人になったり、1人5人になったり…


うちの練習でも「グーとパー」と永遠とくりかえしています。
ちなみに確率は

6C3/(2の6乗)=5/16


です(nCrはn人からr人選ぶ組合せの数(コンビネーション))。


この確率を上げる方法があります。

それは、誰でもいいので一人抜けることです。

そして、5人をグー2人,パー3またはパー3人、グー2人に分け、抜けた人は2人の方に入れば3,3に組み分けできますよね。

この確率は

(5C2+5C3)/(2の5乗)=5/8

だから、先ほどの2倍です。

面白いでしょ。

だから、僕は組み分けに参加せず、「少ないほうに入るんで分けといて」と言って、お茶飲んで、「俺、どっちに入ればよい?」とやってます。


少ない練習時間を有効に使う合理的判断力だと思いませんか?


  
Posted by 志田 晶 at 22:49TrackBack(0)数学小ネタ

2013年05月14日

たまには、真面目な受験数学の話を(対数)

自分も参考書を書く立場として、市販の参考書で気になっていることを書いときます。


いろいろありますが、今日は真数条件について書きたいと思う。これは、高校生の頃から思っていたことです。


(底はすべて2とします。
また、^は累乗をを表します。例えば、2^10は2の10乗という意味です)


【その1】
置き換えのときは真数条件の確認は不要!!

(よくある市販の参考書から)

(問) 方程式 (logx)^2-4logx+3=0を解け。
(解答)
t=logxとおくと、
    t^2-4t+3=0
   (t-1)(t-3)=0
   ∴ t=1,3
t=1のとき、x=2で、これは真数条件を満たす
t=3のとき、x=8で、これは真数条件を満たす

よって、
   x=2,8

(志田の見解)
えーとですねぇ。t=logxとおくってことは、x=2^tですから、すべての実数tに対して、x>0は保証されています。だから、真数条件は成り立つに決まっています。だから、赤字は不要。


【その2】
対数方程式で、真数条件を解くのはナンセンス!


(よくある市販の参考書から)

(問) 方程式 log(x-1)=log(8-2x) を解け。

(解答)
真数条件より、
   x-1>0、8-2x>0
よって、
   1<x<4 …①

このとき、与えられた方程式は
   x-1=8-2x
   ∴ x=3

これは①を満たす。
よって、

   x=3



(志田の見解) 
真数条件は解く必要はありません!例えば、
   log(x^5+x+1)=log(x^5ーx+3)
なら真数条件は
   x^5+x+1>0、x^5ーx+3>0
でしょ。これを解けるなら解いてください(笑)。
ちなみに、真数を比べれば、5乗の項が消え、答えはx=1とすぐわかるのに、真数条件なんか解いてたら時間の無駄でしかありません。

志田はこう解きます。

(志田の解答)


(問) 方程式 log(x-1)=log(8-2x) を解け。

(解答)
真数条件より、
   x-1>0、8-2x>0  …☆←この式は解かずにこのままにしておく

このとき、与えられた方程式は
   x-1=8-2x
   ∴ x=3

これは☆を満たす。
よって、

   x=3


上も同じように真数条件は解かずに解がx=1とでてから、5次不等式に代入して成立することをチェックすれば、解く必要はないのです。
なお、参考書批判でなく、問題提起ですので(笑)。ご意見いただけると嬉しいです。

また、気が向いたら書きます。結構、長くなるし、神経使うから最後かもしれませんが(笑)。



  
Posted by 志田 晶 at 01:55TrackBack(0)数学小ネタ

2013年05月03日

今日の中日新聞

今日の中日新聞にチャンピオンズリーグの記事が載ってました。

11人の力を戦術と組織力で掛け算にしたドイツ勢と、圧倒的な個人の力があっても足し算だったスペイン勢との差がでたと言えそうだ。
(5月3日の中日新聞より)


まぁ、サッカー好きとしては記事の内容にもコメントしたいところだけど(笑)。


でも、これって、

掛け算の方が足し算の方よりも大きいとか思ってません???


そんなことないですよ。


1+4=5
1×4=4


ほうら、足し算のほうが大きいじゃないですか(笑)。

一般化します。

x>0、y>0とする(力なので0以下は考えないのは自然と思われる)。

①0<x≦1のとき、

x+y-xy
=(1-x)y+x>0


より、x+y>xy
(和のほうが積より大きい)

②x>1のとき、


xy-(x+y)
=(x-1)y-x
=(x-1){y-x/(x-1)}

より、

y>x/ (x-1)のとき(双曲線の上側)のみ、xy>x+y(積のほうが和より大きい)。

つまり、正の数では、和と積のどっちが大きいかなんて断定できないわけです。


恐らく、この記事を書いた人はは2以上の数しか考えてないのでしょう。


(命題)
x≧2、y≧2ならばxy≧x+y
(教科書レベル)
(証明)
xy-(x+y)
=(x-1)(y-1)-1≧0



仕事に戻ります。
  
Posted by 志田 晶 at 13:36TrackBack(0)数学小ネタ

2013年04月29日

努力は必ず報われる

インターネットにこんな記事が載っていました。


「努力は必ず報われる?」

・そうとも限らない:54.6%
・報われる:45.5%

(Amebaブログネタ・クチコミつながり調べ、回答者数:2321人、2013年4月26日時点)



僕個人としては、きれいごとは嫌いなので、

努力することは報われるための必要条件(十分性はない)


だと思っています(あくまでも私見ですよ)。

つまり、報われている人は必ず努力をしているが、努力をしたからといって必ずしも報われるとは限らないという意味です。

だからと言って努力をすることがムダと言っているわけではありません。

必要条件とはそもそも消去法の考え(対偶をとるとわかる)なので、僕の主張は

報われている人は必ず努力をしている
⇔努力しない人が報われることは絶対にない!!


と言うことを意味します。
つまり、努力しなければ、はなから負け確定(だから努力せざるをえない!)ということなんですよ。

こう書くと少しだけ説得力がでてきませんか(笑)。


さて、仕事に戻ります。
  
Posted by 志田 晶 at 14:58TrackBack(0)数学小ネタ