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2012年02月27日

東大理

東大理は盛岡のホテル(1時間)、東北新幹線の盛岡⇒仙台間で解きました。



第1問

線分の長さの最大値を求める問題。予想通り(ニヤリ)、計算面倒でした。東大らしいねぇ、この計算量は。θの関数として表すのが簡単なのかな。


第2問


文系第3問と同じ。これは、やはり、蘇我の東大対策でやったものに似てました。受講した生徒はできたのかな?



第3問

回転の体積。特に工夫もいらないし(交点もすぐ求まる)、面倒くさいだけ。第1問、第3問は嫌いです。


第4問


この辺から難しくなります。(1)はkとk+1が互いに素を利用すればおしまい。
(2)は(1)を使うのか?と考えるが、n個とn乗の関連(同じnがでてるなということ)に注目して、評価⇒決定にもちこむ整数問題のよくあるパターン。なーんだ。
少し手が止まったので、20分くらいかかった。


第5問


行列。条件(D)は整数成分で、|ad-bc|=1ということがわかれば、(1)はすぐに終わる。(2)はc=0より、(a,d)=(1,1)、(-1,1)、(1、-1)、(-1、-1)となることに気づけばおしまい。(3)は領域を使って証明したが(P⊂Q)、三角不等式でもできると思う。



第6問

また、行列。これは、新課程で行列がなくなることへの東大の主張(イヤミ)とみた(笑)。

まず(1)。
なんだこのめんどくさい行列のトレースは。
結構時間がかかったが、よく考えるとU(t)CU(-t)を最初に計算して、c=1、a=1,b=-1を代入すれば無駄な計算しないですんだ。

(2)まず、左辺と右辺を計算。引いてみる。証明できない。

あれ?ここまで順調だったのに…。

やや焦る。

試しにtに適当な角度を代入してみた。
あれっ?成りたたない…。

ということは、計算ミスか。

(1)をもう一度見直すと絶対値忘れてた(初歩的なミス)。
(2)に再び取り組む。a+bが消えて、|cost|も消えて、結局一次の絶対不等式。端点checkで終了。
ものすごくきれいに証明できた気がするがどうでしょう。




しかし、新幹線の中では計算しにくいぞ。















Posted by 志田 晶 at 01:05│TrackBack(0)

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この記事へのコメント
同日を受験した新高2生です。
ちなみに志望学部は理科一類です。

東大の問題は初めて解いたのですが、数U+2162Cは未習なので解ける問題が限られていたのが少し残念です。
今は志田先生の「テーマ別数学」を受講しています。今回U+2160AU+2161Bの範囲で解けなかった問題を解けるようになるためにも、数学的な考え方をしっかり身に付けたいと思います!
Posted by あずま at 2012年02月27日 21:50