東大理は盛岡のホテル(1時間)、東北新幹線の盛岡⇒仙台間で解きました。
第1問
線分の長さの最大値を求める問題。予想通り(ニヤリ)、計算面倒でした。東大らしいねぇ、この計算量は。θの関数として表すのが簡単なのかな。
第2問
文系第3問と同じ。これは、やはり、蘇我の東大対策でやったものに似てました。受講した生徒はできたのかな?
第3問
回転の体積。特に工夫もいらないし(交点もすぐ求まる)、面倒くさいだけ。第1問、第3問は嫌いです。
第4問
この辺から難しくなります。(1)はkとk+1が互いに素を利用すればおしまい。
(2)は(1)を使うのか?と考えるが、n個とn乗の関連(同じnがでてるなということ)に注目して、評価⇒決定にもちこむ整数問題のよくあるパターン。なーんだ。
少し手が止まったので、20分くらいかかった。
第5問
行列。条件(D)は整数成分で、|ad-bc|=1ということがわかれば、(1)はすぐに終わる。(2)はc=0より、(a,d)=(1,1)、(-1,1)、(1、-1)、(-1、-1)となることに気づけばおしまい。(3)は領域を使って証明したが(P⊂Q)、三角不等式でもできると思う。
第6問
また、行列。これは、新課程で行列がなくなることへの東大の主張(イヤミ)とみた(笑)。
まず(1)。
なんだこのめんどくさい行列のトレースは。
結構時間がかかったが、よく考えるとU(t)CU(-t)を最初に計算して、c=1、a=1,b=-1を代入すれば無駄な計算しないですんだ。
(2)まず、左辺と右辺を計算。引いてみる。証明できない。
あれ?ここまで順調だったのに…。
やや焦る。
試しにtに適当な角度を代入してみた。
あれっ?成りたたない…。
ということは、計算ミスか。
(1)をもう一度見直すと絶対値忘れてた(初歩的なミス)。
(2)に再び取り組む。a+bが消えて、|cost|も消えて、結局一次の絶対不等式。端点checkで終了。
ものすごくきれいに証明できた気がするがどうでしょう。
しかし、新幹線の中では計算しにくいぞ。