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2013年05月14日

たまには、真面目な受験数学の話を(対数)

自分も参考書を書く立場として、市販の参考書で気になっていることを書いときます。


いろいろありますが、今日は真数条件について書きたいと思う。これは、高校生の頃から思っていたことです。


(底はすべて2とします。
また、^は累乗をを表します。例えば、2^10は2の10乗という意味です)


【その1】
置き換えのときは真数条件の確認は不要!!

(よくある市販の参考書から)

(問) 方程式 (logx)^2-4logx+3=0を解け。
(解答)
t=logxとおくと、
    t^2-4t+3=0
   (t-1)(t-3)=0
   ∴ t=1,3
t=1のとき、x=2で、これは真数条件を満たす
t=3のとき、x=8で、これは真数条件を満たす

よって、
   x=2,8

(志田の見解)
えーとですねぇ。t=logxとおくってことは、x=2^tですから、すべての実数tに対して、x>0は保証されています。だから、真数条件は成り立つに決まっています。だから、赤字は不要。


【その2】
対数方程式で、真数条件を解くのはナンセンス!


(よくある市販の参考書から)

(問) 方程式 log(x-1)=log(8-2x) を解け。

(解答)
真数条件より、
   x-1>0、8-2x>0
よって、
   1<x<4 …①

このとき、与えられた方程式は
   x-1=8-2x
   ∴ x=3

これは①を満たす。
よって、

   x=3



(志田の見解) 
真数条件は解く必要はありません!例えば、
   log(x^5+x+1)=log(x^5ーx+3)
なら真数条件は
   x^5+x+1>0、x^5ーx+3>0
でしょ。これを解けるなら解いてください(笑)。
ちなみに、真数を比べれば、5乗の項が消え、答えはx=1とすぐわかるのに、真数条件なんか解いてたら時間の無駄でしかありません。

志田はこう解きます。

(志田の解答)


(問) 方程式 log(x-1)=log(8-2x) を解け。

(解答)
真数条件より、
   x-1>0、8-2x>0  …☆←この式は解かずにこのままにしておく

このとき、与えられた方程式は
   x-1=8-2x
   ∴ x=3

これは☆を満たす。
よって、

   x=3


上も同じように真数条件は解かずに解がx=1とでてから、5次不等式に代入して成立することをチェックすれば、解く必要はないのです。
なお、参考書批判でなく、問題提起ですので(笑)。ご意見いただけると嬉しいです。

また、気が向いたら書きます。結構、長くなるし、神経使うから最後かもしれませんが(笑)。



  
Posted by 志田 晶 at 01:55TrackBack(0)数学小ネタ