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2012年02月27日

九大理

九大理系です。


第1問

回転体の体積。領域が回転軸に少しかぶっています。まぁ、これは、典型問題かな。九大対策理系数学1学期の10.1で話した2価関数ってやつです。


第2問


ABABAB=Eを利用した行列の問題。大学で群論やると出てくるAとBで生成される群を求めよという問題(自分自身をかけるとEになるので交互に掛けると書いてある)。位数が6ってことは、3次対称群か巡回群でこの場合は3次対称群に同型ですな(20年前に習った記憶がうっすらある程度だが、あってるかな?(笑))。


第3問



んっ。2次方程式に見えるが、パラメーター分離して、数Ⅲに持ち込んだ方が簡単です。なかなかよくできているな。
場合分けして、微分したときに同じ導関数になるのは実は当たり前。



第4問

数列。設定は珍しいが、結局は等比数列の極限の話。これもよくできている。

第5問


確率。これは、去年と同じでn=3の場合でも一般化して漸化式を作った方が早くミスなく求まります。


去年もそうでしたが、最近の九大の問題はよくできているように思います。決して難しくなく、それでいて、一工夫しないと解けない問題。僕らプロから見ても上手な作問です(上から目線ですみません)。
  
Posted by 志田 晶 at 17:45TrackBack(0)

2012年02月27日

名大文

名大文です。

第1問
(1)は直線に関する対称点の問題。典型問題ですが、ここまで文字が入ると、文系生は苦戦しそうです。
(2)は(1)ができれば易しい。(3)軌跡の問題。補助線(平行線)一本引けば、(0,0)と(0,2)が直径とすぐわかります。まぁ、パラメーターを消すのが本筋か。

第2問

理系第3問と同じ


第3問

理系第4問と同じ(一部削除)



次は九大理解きます(仕事)。
  
Posted by 志田 晶 at 10:54TrackBack(0)

2012年02月27日

東大理

東大理は盛岡のホテル(1時間)、東北新幹線の盛岡⇒仙台間で解きました。



第1問

線分の長さの最大値を求める問題。予想通り(ニヤリ)、計算面倒でした。東大らしいねぇ、この計算量は。θの関数として表すのが簡単なのかな。


第2問


文系第3問と同じ。これは、やはり、蘇我の東大対策でやったものに似てました。受講した生徒はできたのかな?



第3問

回転の体積。特に工夫もいらないし(交点もすぐ求まる)、面倒くさいだけ。第1問、第3問は嫌いです。


第4問


この辺から難しくなります。(1)はkとk+1が互いに素を利用すればおしまい。
(2)は(1)を使うのか?と考えるが、n個とn乗の関連(同じnがでてるなということ)に注目して、評価⇒決定にもちこむ整数問題のよくあるパターン。なーんだ。
少し手が止まったので、20分くらいかかった。


第5問


行列。条件(D)は整数成分で、|ad-bc|=1ということがわかれば、(1)はすぐに終わる。(2)はc=0より、(a,d)=(1,1)、(-1,1)、(1、-1)、(-1、-1)となることに気づけばおしまい。(3)は領域を使って証明したが(P⊂Q)、三角不等式でもできると思う。



第6問

また、行列。これは、新課程で行列がなくなることへの東大の主張(イヤミ)とみた(笑)。

まず(1)。
なんだこのめんどくさい行列のトレースは。
結構時間がかかったが、よく考えるとU(t)CU(-t)を最初に計算して、c=1、a=1,b=-1を代入すれば無駄な計算しないですんだ。

(2)まず、左辺と右辺を計算。引いてみる。証明できない。

あれ?ここまで順調だったのに…。

やや焦る。

試しにtに適当な角度を代入してみた。
あれっ?成りたたない…。

ということは、計算ミスか。

(1)をもう一度見直すと絶対値忘れてた(初歩的なミス)。
(2)に再び取り組む。a+bが消えて、|cost|も消えて、結局一次の絶対不等式。端点checkで終了。
ものすごくきれいに証明できた気がするがどうでしょう。




しかし、新幹線の中では計算しにくいぞ。















  
Posted by 志田 晶 at 01:05TrackBack(0)

2012年02月27日

名大理(これはお仕事)

名古屋に戻ってきて解答速報。まずは、明日(というか今日)締め切りの名大理。


第1問


旧々課程(だっけかな)の数学Ⅱで流行った問題(3次関数と接線)ですね。恐らくこれが一番点数が取りやすいと思います。


第2問

関数列に関する問題。(1)は部分積分の計算問題。(2)は奇関数に気づけばすぐ終わりなのですが…。
(3)は結構大変。f2n(x)を求めよなので、飛び石漸化式(番号が2つずれた漸化式)を作ればよいと気づくことがポイント。僕は、「f2n(x)の形が一次関数×指数関数の形であらわされること」を数学的帰納法で証明して漸化式を作りました。

(2)までは取りたいですね。


第3問

確率の問題。どこかのテキストに似たような問題を入れた記憶があるんだけど、見つかりません。確率の最大・最小の問題。一つずらすパターンですね。ただ、3回の反復なので、(2)は具体的にしらべてもたいしたことないです(別解として載せました)。(4)は2次関数上の点列の最大値。よくあるP(s+1)/P(s),P(s+1)-P(s)なんて不要。



第4問


2項定理に関する整数問題。解答の書き方がやや難しいかな。(4)はrについての数学的帰納法がいいのではと思います。



去年はとても難しかった名大理。今年は、少しましになったと思いますが、でもかなり難しい方だと思います。


150分4題恐るべし。



  
Posted by 志田 晶 at 00:54TrackBack(0)